Contoh Soal Dan Pembahasan BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Terlebih dahulu kita akan memahami konsep awal atau dasar-dasar dari barisan geometri yang meliputi :

Apa itu barisan geometri ?
Apa itu deret geometri ?

Apa itu Barisan Geometri ?

Barisan geometri adalah barisan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Jika dalam barisan aritmatika, selisih antara satu suku dengan suku berikutnya disebut dengan nilai beda. Sedangkan dalam barisan geometri selisih antar suku diistilahkan dengan rasio ( dilambangkan dengan r).

Misalkan diketahui barisan seperti dibawah ini :

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 3 atau r = 3. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.

Contoh lain dari Barisan Geometri:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Barisan ini memiliki rasio 2 (r=2)
Setiap suku(kecuali suku pertama) merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan 2.

Secara umum kita dapat menulis Barisan (Urutan) Geometrik seperti berikut :

{a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶, ar⁷...}

dimana:

a adalah suku pertama
r adalah rasio

Rumus-Rumus Barisan Geometri

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = ar^(n-1)
dimana :

U_nadalah suku ke-n
a menyatakan suku pertama
r menyatakan rasio
n menyatakan banyaknya suku

2. Untuk mencari nilai rasio(r) :

r = U_nU_(n-1)
dimana :

r adalah rasio
U_n adalah suku ke-n
U_(n-1) adalah suku ke-n sebelumnya

3. Mencari Suku Tengah
Kita dapat mencari suku tengah untuk sebuah barisan geometri yang memilliki n suku ganjil (banyaknya suku harus ganjil) dimana diketahui suku pertama dan rasio, maka digunakan rumus:

U_t = √a . rⁿ

dimana:

U_t adalah suku tengah
a adalah suku pertama
n menyatakan banyaknya suku
r adalah rasio

Namun jika untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan suku terakhir, maka rumusnya:

U_t = √a . U_n

dimana :

U_t adalah suku tengah
a adalah suku pertama
U_n adalah suku ke-n (dalam hal ini sebagai suku terakhir)

Apa itu Deret Geometri ?

Sama halnya seperti deret aritmatika yang merupakan jumlah dari barisan aritmatika, maka deret geometri adalah hasil penjumlahan dari nilai suku suku sebuah barisan geometri. Deret geometri dikenal juga dengan sebutan deret ukur.
Contoh:

1 + 2 + 4 + 8 +16+32
3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96

Untuk menghitung deret geometri terdapat dua rumus, yaitu :

Rumus Deret Geometri Turun
Rumus deret geometri turun hanya bisa digunakan jika 0 < r < 1
S_n = a(1 - rⁿ)1 - r
dimana :
- S_n adalah jumlah deret suku ke-n
- a adalah suku pertama
- r adalah rasio
- n adalah banyaknya suku

Rumus Deret Geometri Naik
Rumus deret geometri naik hanya bisa digunakan jika r > 1.
S_n = a(rⁿ-1)r - 1
dimana :
- S_n adalah jumlah deret suku ke-n
- a adalah suku pertama
- r adalah rasio
- n adalah banyaknya suku

Rumus suku ke n

sukuken

========================= SOAL JAWAB =================================

1. Tentukan suku ke tujuh dari barisan geometri 3, 6, 12, .....!

Dari Barisan 3, 6, 12, ... didapat a = 3 dan r = 6/3 = 2 sehingga,

^n-1

U7 = 3.2⁶
U7 = 3.64
U7 = 192

2. Tentukan Rumus Suku ke-n dari barisan 48 , 24 , 12 , ……!

Dari barisan 48, 24, 12, .... didapat a = 48 dan r = 24/48 = 1/2 sehingga,

Un = a.r^n-1
Un = 48.(1/2)^n-1
Un = 48.(1/2)^n-1
Un = 48.(2^-1)^1-n
Un = 3.16.(2)^1-n
U7 = 3.2⁴(2)^1-n
U7 = 3.2^5-n

3. Dari barisan geometri diketahui bahwa U3 = 4 dan U9 = 256, maka tentukan U12!

U3 = 4 → a.r² = 4
U9 = 256 → a.r⁸ = 256

Kemudian substitusikan untuk mencari U1 atau a!

→ a.r² = 4
→ a.2² = 4
→ a = 1
Next, cari nilai U12 dengan menggunakan rumus umum barisan geometri!
U₁₂ = a.r^n-1
U12 = 1.2¹¹
U12 = 1.2048
U12 = 2048

4. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 35, sedangkan hasil kali ketiga bilangan itu sama dengan 1.000. Maka tentukan barisan geometri tersebut!

5.Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret 32 + 16 + 8 + ….!

Dari deret 32 + 16 + 8 + .... didapat a = 32 dan r = 1/2, sehingga

6. Tentukan nilai n yang memenuhi 2 + 2² + 2³ + ….. + 2ⁿ = 510!

Dari deret 2 + 2² + 2³ + ….. + 2ⁿ = 510 didapat a = 2 dan r = 2, sehingga

7. Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!

Pembahasan

U₅ = 324
a = 4

Dari U_n = ar^{n −1}

Dengan demikian rasionya adalah 3 atau − 3

8. Deret geometri 12 + 6 + 3 + ....Tentukan U₃ + U₅

Pembahasan

U₃ = 3
a = 12
r = ⁶/₁₂ = ¹/₂

Un = ar^{n −1}
U₅ = 12(1/2)^{5 −1} = 12(1/2)⁴ = 12(1/16) = 12/16 = 3/4

Sehingga
U₃ + U₅ = 3 + ³/₄ = 3 ³/₄

9. Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian dengan membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 16 cm dan tali yang paling panjang adalah 81 cm, maka panjang tali semula adalah ….

U1 = 16 & U5 = 81

Langkah 1 : mencari nilai rasio barisan geometri (r).Gunakan rumus umum
Un = a.r^(n-1)
*ket :
Un = nilai suku
a = suku pertama / U1
r = barisan geometri

Maka,
U5 = U1.r^(5-1)
81 = 16.r^(4)
r^(4) = 81/16
r^(4) = 3^4 / 2^4
r = 3/2

Langkah 2 : Mencari panjang total, terdapat 5 bagian tali (S5)

Gunakan rumus umum
Sn = a(1-r^n) / (1-r)
*ket :
Sn = jumlah suku
a = suku pertama / U1
r = barisan geometri

Maka,
S5 = 16 [ 1-(3/2)^5 ] / [ 1-(3/2) ]
S5 = 16 [ 1 - (243/32) ] / -(1/2)
S5 = 16 [ (32/32) - (243/32) ] / -(1/2)
S5 = 16 ( -211/32 ) / - (1/2)
S5 = -32 ( -211/32 )
S5 = 211 cm

Maka panjang tali semula adalah 211 cm

10. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

PEMBAHASAN :

Kata kunci dalam soal ini adalah “Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya”, ini artinya rasionya 3/4 dan termasuk dalam deret geometri.

Yang jadi pertanyaannya adalah suku ke-4 dengan a = 80.000.000

u4 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000

11. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

PEMBAHASAN :

Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret takhingga)

Dalam deret takhingga ini, yang menjadi suku pertamaya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

Pantulan pertama = 10 x 3/4 = 30/4 m (suku pertama)

$S_\infty$ = $\frac{a}{1-r}$

= $\frac{\frac{30}{4}}{1-\frac{3}{4}}$

= $\frac{\frac{30}{4}}{\frac{1}{4}}$ = 30

P.Lintasan = 10 + 2(30) = 70m

12. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …

PEMBAHASAN :

Deret geometri : a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ar6 + …

Perhatikan suku genap dan ganjilnya, dimana pada suku-suku genap, suku pertamanya adalah ar dan pada suku-suku ganjil, suku pertamanya adalah ar, dengan rasionya adalah r2.

$S_{\infty}$ = $\frac{a}{1-r}$

7 = $\frac{a}{1-r}$

7(1 – r) = a … (i)

Berdasarkan rumus jumlah deret geometri tak hingga diatas, maka kita memperoleh rumus deret geometri takhingga bersuku genap dengan mengganti suku awal dengan “ar” dan rasionya “r2“.

Sgenap = $\frac{ar}{1-r^2}$

3 = $\frac{ar}{1-r^2}$

3(1 – r2) = ar … (ii)

Substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh :

3(1 – r2) = (7(1 – r))r

3 – 3r2 = 7r – 7r2

4r2 – 7r + 3 = 0

(4r-3)(r-1) = 0

r = 3/4 atau r = 1

substitusi nilai “r” tersebut ke persamaan (i), sehingga diperoleh :

untuk r = ¾

a = 7(1 – r) = 7(1 – 3/4) = 7/4

untuk r = 1

a = 7(1 – r) = 7(1 – 1) = 0

13. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah … orang.

PEMBAHASAN :

tahun 1996 => u1 = a = 6

tahun 1998 => u3 = ar2 = 54

6.r2 = 54

r2 = 9 => r = 3

tahun 2001 => u6 = ar5

6.(3)5 = 1.458

14. Diketahui barisan geometri dengan

u1 = x3/4 dan u4 = x $\sqrt{x}$ . Rasio barisan geometri tesebut adalah …

PEMBAHASAN :

$u_4 = x \sqrt{x} = x^{3/2}$

$\dfrac{u_4}{u_1} = \dfrac{x^{3/2}}{x^{3/4}} = x^{3/2-3/4} = x^{3/4}$

$r^3 = x^{3/4} \Rightarrow r = x^{1/4}$

15. Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?

a = 2
r = 2
n = (1 jam/ 6 menit) + 1 = 11 –> menit juga dimasukkan
U_n = ar^n-1
U₁₀ = 2.2^11-1 = 2¹⁰ = 1024 buah amoeba.

16. Diketahui sebuah barisan geometri a, b, c,…. Jika diketahui a x b x c = 1728 dan a + b + c = 36, maka nilai a, b dan c adalah…

Jawaban & Penjelasan:

Penyelesaian:

a x b x c = 1728      <—–>     a.c = 1728/b

a + b + c = 36     <—–>     a + c = 36 – b

Rasio = U2/U1 = U3/U2

b/a = c/b

b² = ac    —–> kali silang

b² – ac = 0

b² – 1728/b = 0

b³ – 1728 = 0

b³ = 1728

b = ³√1728 = 12.

Subtitusi nilai b.

a.c = 1728/b = 1728 /12 = 144.

a + c = 36 – b = 36 – 12 = 24.

Nilai a dan c yang paling memungkinkan jika nilai a.c = 144 dan a + c = 24 adalah a dan c = 12. Sebab,

12.12 = 144 dan 12 + 12 = 24.

Jadi nilai a, b dan c adalah 12, 12, 12. Rasionya = 1.

17. Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut?

Pembahasan & Jawaban:

Untuk mencari suku ke-n, jika diketahui jumlah nilai suku-sukunya, maka rumus yang berlaku adalah:

Un = Sn – S(n – 1)

Jumlah nilai 9 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S9 = 2(9)² + 4(9)

S9 = 2.81 + 36

S9 = 198.

Jumlah nilai 8 suku pertama

Sn = 2n² + 4n

S8 = 2(8)² + 4(8)

S8 = 2.64 + 32

S8 = 160.

Maka nilai dari suku ke-9 adalah

Un = Sn – S(n – 1)

U9 = S9 – S8

U9 = 198 – 160 = 38.

18. Sebuah daerah pada tahun 3008 memiliki jumlah penduduk 24 orang. Tiap tahunnya jumlah penduduk bertambah dua kali lipatnya. Maka, jumlah penduduk pada tahun 3012 adalah…

Jawaban & Penjelasan:

Ini adalah bentuk barisan geometri dengan rumus suku ke n:

Un = U1.r^(n – 1) —–> ( tanda ^ berarti pangkat).

Jumlah penduduk tahun 3008 (U1) = 24 orang.

Tiap tahun penduduk bertambah 2x lipat (rasio) = 2.

Maka, jumlah penduduk tahun 3012 (U5):

Un = U1.r^(n – 1)

U5 = 24.2^(5 – 1)

U5 = 24.2^4

U5 = 24.16 = 384 orang.

Jadi, jumlah penduduk daerah tersebut pada tahun 3012 adalah 384 orang.

19. Diketahui sebuah barisan geometri

4p, 2q, r, … . Maka nilai dari q² – pr adalah…
Jawaban & Penjelasan:

Penentuan rasio.

r = U2/U1 = U3/U2

2q/4p = r/2q

2q.2q =4p.r —–> kali silang

4q² = 4pr

4q² – 4pr = 0

4(q² -pr) = 0

q² -pr = 0

20.Diketahui sebuah barisan geometri :

5, 10, 20, 40, 80, .... , 5120.

Nilai suku tengahnya adalah :

a = 5 Un = 5120

U_t = √a . U_n

U_t = √5 . 5120 = √25600 = 160

21. Terdapat sebuah barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya adalah 3 dan rasionya adalah 3. Berapakah suku tengahnya ?

a = 3
r = 3
n = 5

U_t = √a . rⁿ = √3 . 3⁵=729 = 27

Title : Contoh Soal Dan Pembahasan BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Description : Terlebih dahulu kita akan memahami konsep awal atau dasar-dasar dari barisan geometri yang meliputi : Apa itu barisan geometri ...

Contoh Soal Dan Pembahasan BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Apa itu Barisan Geometri ?

Contoh lain dari Barisan Geometri:

{a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶, ar⁷...}

Rumus-Rumus Barisan Geometri

Apa itu Deret Geometri ?

1 Response to "Contoh Soal Dan Pembahasan BARISAN DAN DERET GEOMETRI"

Taktik Catur

Random Hadits

Random Ayat Quran

Millis

Contoh Soal Dan Pembahasan BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Apa itu Barisan Geometri ?

Contoh lain dari Barisan Geometri:

{a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7...}

Rumus-Rumus Barisan Geometri

Apa itu Deret Geometri ?

1 Response to "Contoh Soal Dan Pembahasan BARISAN DAN DERET GEOMETRI"

Taktik Catur

Random Hadits

Random Ayat Quran

Millis

{a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶, ar⁷...}