Contoh Soal Dan Pembahasan BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Apa itu Barisan ?

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.  Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:

• 1, 2, 3, 4, 5,6,7  (Bilangan 1 adalah suku pertama, bilangan 2 adalah suku kedua dst)
• 2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 adalah suku ketiga, bilangan 17 adalah suku keenam).
• 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 (Bilangan 12 adalah suku kedua, bilangan 10 adalah suku ketiga dst).

Sehingga jelas bahwa barisan itu kumpulan bilangan yang memiliki pola tertentu, sedangkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan dengan pola tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak sebagai suku pertama, kedua, ketiga dst.

Apa itu Deret ?

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U₃,…..U_n
maka : U₁ + U₂ + U₃ +… +U_n adalah deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + .U_n

2 + 4 + 6 + 8 +… + .U_n

Apa itu barisan Aritmatika ?

Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki nilai selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut disebut nilai beda, disimbolkan dengan b.

Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku berikutnya adalah konstan. Dengan kata lain, kita hanya menambahkan nilai yang sama setiap waktu.

Contoh:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Barisan tersebut memiliki nilai beda 3 antara satu suku dengan suku berikutnya.

Secara umum, kita dapat menulis barisan aritmatika tersebut :

{a, a+b, a+2b, a+3b, ... }

dimana:

• a adalah suku pertama, 
• b adalah nilai beda.

Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = a + (n - 1)b
dimana :

• U_n: suku ke-n 
• a: suku pertama 
• b: nilai beda 
• n: banyak suku

2. Untuk mencari nilai beda :

b = U_n-U_(n-1)
dimana :

• b adalah nilai beda
• U_n: suku ke-n 

3. Untuk mencari Suku Tengah 
Kita dapat mencari suku tengah yang memiliki n suku ganjil (banyaknya sukunya ganjil) dimana diketahui suku pertama dan suku terakhir, maka digunakan rumus :

U_t = a + U_n2
dimana :

• U_t adalah suku tengah
• a adalah suku pertama
• U_n adalah suku ke-n (dalam hal ini bertindak sebagai suku terakhir)

Namun jika untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya: 

U_t = a + (n-1)b2 dimana :

• U_t adalah suku tengah
• a adalah suku pertama
• n menyatakan banyaknya suku
• b menyatakan nilai beda

Apa itu Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah dari barisan aritmatika yang biasa ditandai dengan tanda plus (+).

Contoh :

• 2 + 4 + 6 + 8 + 10
• 3 + 6 + 9 + 12 + 15

Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, digunakan rumus:

S_n = n2 (a+U_n)
atau
S_n = n2 (2a + (n-1)b) dimana :

• S_n menyatakan jumlah suku ke-n
• a adalah suku pertama
• U_n menyatakan nilai suku ke-n
• b menyatakan nilai beda
• n menyatakan banyaknya suku

1. Suku ke-4 dan suku ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan tersebut adalah

Pembahasan

Dari beberapa suku yang diketahui diperoleh persamaan yaitu :

(1) U4 = a + 3b = 110

(2) U9 = a + 8b = 150

     

Dengan dua persamaan di atas, kita dapat menentukan nilai suku pertama (a) dan beda (b) barisan aritmatika tersebut. Nilai a dan b dapat ditentukan dengan metode eliminasi ataupun metode substitusi. Dengan metode substitusi, diperoleh :

a + 3b = 110 => a = 110 - 3b  => substitusi ke persamaan (2).

a + 8b = 150 

=> 110 - 3b + 8b = 150

=>  110 + 5b = 150

=>  5b = 40

=>  b = 8

Karena b = 8, maka a = 110 - 3(8) = 110 - 24 = 86.

Jadi, suku ke-30 barisan aritmatika tersebut adalah :

U30 = a + 29b

=>  U30 = 86 + 29(8)

=>  U30 = 86 + 232

=>  U30 = 318 

2. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku keempat adalah 7 dan jumlah suku keenam dan kedelapan adalah 23. Besar suku keduapuluh adalah ...

Pembahasan  Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut : 

(1) U4 = a + 3b = 7 

(2) U6 + U8 = (a + 5b) + (a + 7b) = 2a + 12b = 23 

      

Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut : 

a + 3b = 7 => a = 7 - 3b => substitusi kepersamaan (2). 

2a + 12b = 23 

=> 2(7 - 3b) + 12b = 23 

=> 14 - 6b + 12b = 23 

=> 6b = 9 

=> b = 9/6 = 3/2 

       

Karena b = 3/2, maka a = 7 - 3(3/2) = (14 - 9)/2 = 5/2. 

Jadi, suku ke-20 barisan aritmatika tersebut adalah : 

U20 = a + 19b 

=> U20 = 5/2 + 19(3/2) 

=> U20 = 5/2 + 57/2 

=> U20 = 62/2 = 31

3. Diketahui barisan aritmatika dengan U2 + U5 + U20 = 54. Suku ke-9 barisan tersebut adalah

Pembahasan
	U2 + U5 + U20 = 54
	=> (a + b) + (a + 4b) + (a + 19b) = 54
	=> 3a + 24b = 54
	=> a + 8b = 18
	Rumus untuk menghitung suku ke-9 adalah sebagai berikut :
	U9 = a + 8b
	=> U9 = a + 8b = 18

4. Dalam suatu barisan aritmatika, jika U3 + U7 = 56 dan U6 + U10  = 86 , maka suku ke-2 barisan aritmatika tersebut sama dengan

Pembahasan Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :

U3 + U7 = 56 

=> (a + 2b) + (a + 6b) = 56 

=> 2a + 8b = 56 

=> a + 4b = 28

U6 + U10 = 86 => (a + 5b) + (a + 9b) = 86 => 2a + 14b = 86
	Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :
	a + 4b = 28 =>  a = 28 - 4b =>  substitusi ke persamaan (2).
	=>  a + 7b = 43
	=>  28 - 4b + 7b = 43
	=>  28 + 3b = 43
	=>  3b = 15
	=>  b = 5
	Karena b = 5, maka a = 28 - 4(5) = 28 - 20 = 8.
	Jadi, suku ke-2 barisan aritmatika tersebut adalah :
	U2 = a + b
	=>  U2 = 8 + 5
	=>  U2 = 13

5.  Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah Un, diketahui U3 + U6 + U9 + U12 = 72. Maka Jumlah 14 suku pertama sama dengan

Pembahasan:
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan dengan rumus berikut :
Sn = n/2 (a + Un)

Dengan :
Sn = jumlah n suku pertama
n = banyak suku
Un = suku ke-n
a = U1 = suku pertama.

Berdasarkan rumus di atas, maka jumlah 14 suku pertama dapat dihitung dengan :

=> S14 = 14 / 2 (a + U14 ) 
=> S14 = 7 (a + U14 )
=> S14 = 7 (a + a + 13b)
=> S14 = 7 (2a + 13b)

	Sekarang, kita lihat apa yang akan kita peroleh dari persamaan yang diketahui pada soal.
	=> U3 + U6 + U9 +U12 = 72
	=>  a + 2b + a + 5b + a + 8b + a + 11b = 72
	=>  4a + 26b = 72
	=>  2a + 13b= 36
	Substitusilah persamaan yang kita peroleh ke rumus jumlah suku.
	=>  S14 = 7 (2a + 13b)
	=>  S14 = 7 (36)
	=>  S14 = 252
	Jadi, jumlah 14 suku pertama barisan itu adalah 252.

6. Jika suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya adalah 240, maka jumlah 7 suku pertamanya adalah

Pembahasan :

Dik : b = 2.

Karena beda diketahui, maka suku pertama dapat dicari menggunakan rumus jumlah 20 suku pertama. Jumlah 20 suku pertama :

=> S20 = 20 / 2 (a + U20)
=> S20 = 10 (a+ U20 )
=> S20 = 10 (a+ a + 19b)
=> S20 = 10 (2a + 19.2)
=> S20 = 10 (2a + 38)
=> 240 = 20a + 380
=> 20a = -140
=> a = -7

Jumlah 7 suku pertama : => S7 = 7/2 (a + U7 )

=> S7= 7/2 (a+ a + 6b)
=> S7 = 7/2 (2a + 6b)
=> S7 = 7/2 (2(-7) + 6.2)
=> S7 = 7/2 (-14 + 12)
=> S7 =7/2 (-2)
=> S7 = -7

7. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Jumlah 20
suku pertama barisan tersebut adalah

Pembahasan :

Suku kedua :

=>U2 = 5 =>a + b = 5 =>a = 5 - b Suku kelima : =>U5 = 14 =>a + 4b = 14 =>5 - b + 4b = 14 =>3b = 9 =>b = 3, maka a = 5 - 3 = 2 Jumlah 20 suku pertama : => S20 = 20/2(a+ U20) => S20 = 10 (a + U20 ) => S20 = 10 (a + a + 19b) => S20 = 10 (2.2 + 19.3) => S20 = 10 (61) => S20 = 610

8. Rumus suku ke-n barisan aritmatika 94, 90, 86, 82, ... adalah...

Pembahasan:

Suku pertama = a = 94
Beda = b = 90 - 94 = -4

suku ke-n = Un = a + (n-1) b
                 = 94 + (n-1) -4
                 = 94 + (-4n) + 4
                 = 94 + 4 - 4n
           Un = 98 - 4n

9. Diketahui deret aritmatika 17, 20, 23, 26, ... Jumlah tiga puluh suku pertama deret tersebut adalah

Pembahasan:

suku pertama = a = 17
Beda = b = U2-U1 = 20-17 = 3

Jumlah 30 suku pertama = S30
Sn  = n/2 (2a + (n-1)b)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)
       = 15 (34 + 29.3)
       = 15 (34 + 87)
       = 15.121
       = 1.815

10. Banyak kursi pada baris pertama di gedung kesenian ada 22 buah. Banyak kursi pada baris di belakangnya 3 buah lebih banyak dari kursi pada baris di depannya. Banyak kursi pada baris kedua puluh adalah

Pembahasan:

Bila dituliskan, maka bentuk barisan aritmatika kursi di gedung itu adalah: 22, 25, 28, ...
Ditanyakan: banyak kursi pada baris ke-20. Jadi kita diminta mencari U20
Un  = a + (n-1)b
U20 = 22 + (20-1)3
        = 22 + 19.3
        = 22 + 57
        = 79

11. Diketahui deret aritmatika dengan rumus Sn = 2n^2 + 3n. Beda deret aritmatika tersebut adalah.

Pembahasan:
Beda dapat dicari dengan mengurangkan jumlah 2 suku (S2) dengan jumlah 1 suku (S1)
Sn = 2n^2 + 3n
S2 = 2.2^2 + 3.2
     = 2.4 + 6
     = 8 + 6
     = 14

Sn = 2n^2 + 3n
S1 = 2.1^2 + 3.1
     = 2.1 + 3
     = 2 + 3
     = 5
beda = b = S2-S1
               = 14 - 5
               = 9

12. Suatu tumpukan batu bata terdiri atas 15 lapis. Banyak batu bata pada lapis paling atas ada 10 buah, tepat di bawahnya ada 12 buah, di bawahnya lagi ada 14, dan seterusnya. Banyak batu bata pada lapisan paling bawah ada...

Pembahasan:

Pada soal diketahui tumpukan ada 15 lapis, ini berarti jumlah n ada 15, n = 15
Batu bata pada lapis paling atas berjumlah 10, ini berarti U15 = 10
Batu bata pada lapis di bawahnya ada 12, ini berarti U14 = 12
Batu bata pada lapis di bawahnya lagi ada 14, ini berarti U13 = 14

Ditanyakan: jumlah batu bata pada lapisan paling bawah, ini berarti kita diminta mencari suku pertama atau a

U15 = 10
U14 = 12
Beda = b = U15-U14 = 10-12 = -2
Kita jabarkan U15
U15               = 10
Un                 = a + (n-1)b
a + (15-1).-2  = 10
a + 14.(-2)     = 10
a + (-28)        = 10
a                    = 10 + 28
a                    = 38

13. Dalam ruang pertunjukkan, di baris paling depan tersedia 18 kursi. Baris di belakangnya selalu tersedia 1 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Jika dalam ruang itu terdapat 12 baris, banyak kursi seluruhnya adalah... buah.

Pembahasan:
Pada soal diketahui:
Baris pertama jumlah kursi 18 = U1 = a = 18
Baris di belakang 1 lebih banyak = beda = b = 1
Ditanyakan: jumlah seluruh kursi dalam 1 gedung = Sn = S12 (karena ada 12 baris)
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S12 = 12/2 (2.18 + (12-1).1)
       = 6 (36 + 11.1)
       = 6 (36 + 11)
       = 6.47
       = 282

14. Seorang pegwai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah...

Pembahasan:
Gaji tahun pertama = a = 3.000.000
Tambahan gaji per tahun = b = 500.000
n = 10 tahun
Sn = n/2(2a + (n – 1)b)
S10 = 10/2(2 x 3.000.000 + (10 – 1) 500.000
        = 5 (6.000.000 + 9 x 500.000)
        = 5(6.000.000 + 4.500.000)
        = 5 x 10.500.000
        = 52.500.000

15. Amir memiliki kawat dipotong menjadi 5 bagian yang ukurannya membentuk barisan aritmatika. Jika panjang kawat terpendek 15 cm dan terpanjang 23 cm, panjang kawat sebelum dipotong adalah..

Pembahasan:
Panjang kawat membentuk barisan aritmatika
Dipotong menjadi 5 = n = 5
Panjang kawat terpendek = a = 15 
Panjang kawat terpanjang = U5 = 23
Sn = n/2(a + Un)
S5 = 5/2(15 + 23)
    = 5/2(38)
    = 5 x 19
    = 95

16. Jumlah bilangan kelipatan 5 antara 200 dan 250 adalah?

Bilangan itu adalah : 205, 210, 215, ....., 245 
a = 205, b = 5, 

Un = a + (n-1)b 
245 = 205 + (n-1)5 
245 = 205 + 5n - 5 
245 = 200 + 5n 
5n = 245 - 200 
5n = 45 
n = 9 

Sn = 1/2 n (a + Un) 
.....= 1/2 x 9 x (205 + 245) 
.....= 9/2 x 450 
Sn = 2025 

Posted by Abu Fathan on Sunday, September 17, 2017 - Rating: 4.5

Title : Contoh Soal Dan Pembahasan BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Description : Apa itu Barisan ? Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.  Setiap bilangan dalam bari...

Tweet